Progressão Geométrica (gerador de PG)

Hoje nós vamos apresentar nosso gerador de progressão geométrica, você só precisa informa na ferramenta o primeiro termo da PG, a Razão e a quantidade de termos que terá.

 

 

A progressão geométrica é um tipo de sequência numérica onde o conjunto de números é uma taxa constante de números crescente ou decrescente, contados a partir do segundo termo. Nesse caso, o segundo termo da progressão é sempre igual ao produto definido ao termo anterior onde ainda é aplicado uma constante que é denominada por razão q.

Neste post, explicaremos em detalhes o que é progressão geométrica, como ela é aplicada, quais são as suas principais aplicações de cálculo, entre outras informações. Além disso, ensinaremos como calcular progressão geométrica em diversos aspectos. Confira tudo isso a seguir e muito mais.

 

O que é progressão geométrica?

A progressão geométrica é dada a partir de uma sequência numérica que segue o padrão de números reais não nulos. Sendo assim, entre um termo e outro haverá sempre uma diferença de valores, onde essa diferença é dada a partir de uma constante que é representada por um quociente (q).

Na progressão geométrica, é possível que a sequência de termos adote a modalidade crescente, decrescente, constante, oscilante e quase nula. Cada uma dessas modalidades determina o tipo de variação entre um número e outro dentro de um único conjunto. Sendo assim, em uma progressão geométrica é possível determinar a relação de mudança entre um termo e outro, a razão dessa mudança, entre outras informações importantes para cálculos sequenciais.

Um exemplo de progressão geométrica é a seguinte sequência numérica: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64). Nesta sequência numérica temos que a razão é dada a partir do quociente 2. Ou seja, entre um número e outro há uma diferença de q = 2. Isso significa que a cada novo número, o valor é multiplicado por 2, o que resulta em um novo número.

 

Diferença entre PA e PG

Embora as duas formas de progressões sejam muito parecidas, há algumas variações entre as duas modalidades de sequenciamento numérico. No caso da PA, progressão aritmética, a diferença dos termos é dada com a soma de uma constante ou razão, onde cada elemento da PA varia conforme esse cálculo. Já no caso da PG, progressão geométrica, essa variação ocorre por meio da multiplicação de acordo também com uma constante, que nesse caso é chamada de quociente. Veja também: Progressão Aritmética

Para entender como funciona essa diferença, veja a seguir alguns exemplos de PA e PG:

PA = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21)

PG = (3, 9, 27, 81, 243, 729, 2.187)

Como podemos observar, as duas progressões apresentam razão igual a 3 e um total de 7 números. No entanto, a diferença entre cada uma das progressões é clara. A PA, mostra uma progressão com a soma de cada termo com a razão. Já na PG, podemos ver que a progressão ocorre a cada termo através de uma multiplicação pela razão. Sendo assim, essa é a maior diferença entre as duas formas de progressões matemáticas.

 

Tipo de progressão geométrica

Como já mencionamos, a progressão geométrica é classificada em até 5 modalidades diferentes, podendo ser crescente, decrescente, constante, oscilante ou quase nula. Por exemplo, uma progressão geométrica com a seguinte sequência numérica (1, 2, 4, 8, 16) é crescente, decrescente, constante, oscilante ou quase nula? Considerando os números, podemos rapidamente associar que trata-se de uma progressão crescente. Mas e quanto a progressão (-1, -1/2, -1/4)? Nesse segundo exemplo, a PG também é crescente, pois o número está aumentando, em vez de diminuir.

Para entender melhor esse conceito, existe algumas regras estabelecidas para determinar se uma PG é crescente, decrescente, constante, oscilante ou quase nula. Confira a seguir essas regras e suas aplicações:

• PG crescente: primeiro termo deve ser maior que 0, e 0 q deve ser maior que 1, (1, 2, 4, 8). Também é válido que o primeiro termo seja menor que 0, desde que 0 seja menor que q e menor que 1, (-1, -1/2, -1/4).
• PG decrescente: primeiro termo deve ser maior que 0, e 0 deve ser menor que q e menor que 1, (64, 32, 16, 8). Também é válido que o primeiro termo seja menor que 0, e q seja maior que 1, (-2, -4, -8).
• PG constante: todos os termos devem ser iguais, onde a razão é dada pelo q = 1, (4, 4, 4, 4, 4).
• PG oscilante: termos intercalam entre negativo e positivo, sendo que primeiro termo é diferente de 0 e o q menor que 0, (2, -4, 8, -16, 32, -64).
• PG quase nula: apenas o primeiro termo é diferente de 0, (3, 0, 0, 0).

 

Fórmulas e cálculos da progressão geométrica

A progressão geométrica pode ser calculada de diferentes formas dependendo da intenção de cálculo. Por exemplo, se queremos saber a razão entre os termos, é necessário aplicar a fórmula específica para essa finalidade. O mesmo se aplica ao caso do termo geral, ou mesmo da comprovação de que uma sequência numérica é de fato uma progressão geométrica. Confira a seguir cada um desses cálculos com as respectivas fórmulas:

 

Definir uma progressão geométrica

Nem toda sequência numérica é uma progressão geométrica. A matemática específica de toda progressão geométrica possui uma diferença entre os números equivalente em relação a aplicação de um quociente. Nesse caso, qualquer sequência numérica que apresente uma mudança constante dada pela multiplicação dos termos por um quociente, trata-se de uma progressão geométrica. Mas para que isso seja válido, é dado a seguinte fórmula:

a(n) = an – 1 * q (n deve ser sempre maior que 1)

 

Obter a razão da PG

Além de saber se uma sequência é ou não uma progressão geométrica, podemos obter a razão dessa progressão por meio de uma fórmula. Nesse caso, a fórmula se aplica da seguinte forma:

a(2) / a(1) = a(3) / a(2) = … = a(n) / an – 1

 

Termo geral da progressão geométrica

Já o cálculo da progressão geométrica, é feito com base na fórmula indicada para a definição de progressão geométrica. Utilizando a mesma fórmula, temos que a(1) deve ser diferente de 0, e q deve ser diferente de 0. Para um cálculo preciso do termo geral da PG, é utilizado a seguinte fórmula:

a(n) = a(1) * q ⁿ⁻¹