Calculadora Fatorial

Precisando calcular fatorial de um número? Utilize nossa calculadora online, basta informar o número desejado e clicar em CALCULAR.

 

A função fatorial (símbolo: !) Diz para multiplicar todos os números inteiros de nosso número escolhido até 1.

 

Exemplos:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

1! = 1

 

Calculando a partir do valor anterior

Podemos calcular facilmente um fatorial a partir do anterior:

n	n!
1	1	1	1
2	2 × 1	= 2 × 1!	= 2
3	3 × 2 × 1	= 3 × 2!	= 6
4	4 × 3 × 2 × 1	= 4 × 3!	= 24
5	5 × 4 × 3 × 2 × 1	= 5 × 4!	= 120
6	etc

• Para calcular 6!, multiplique 120 por 6 para obter 720
• Para calcular 7!, multiplique 720 por 7 para obter 5040
• E assim por diante…

 

Exemplo: 9! é igual a 362.880. Tente calcular 10!

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362.880 = 3.628.800

 

Portanto, a regra é:

n! = n × (n − 1)!

Que diz

“o fatorial de qualquer número é aquele número vezes o fatorial de (aquele número menos 1) “

Portanto, 10! = 10 × 9!, … e 125! = 125 × 124!, etc.

 

E quanto a “0!”

O fatorial zero é interessante … é geralmente aceito que 0! = 1.

Pode parecer engraçado que a multiplicação de nenhum número resulta em 1, mas vamos seguir o padrão de, digamos, 4 para trás! como isso:

 

E em muitas equações usando 0! = 1 apenas faz sentido.

 

Exemplo: de quantas maneiras podemos organizar letras (sem repetir)?

• Para 1 letra “a”, há apenas uma maneira: a
• Para 2 letras “ab”, existem 1 × 2 = 2 maneiras: ab, ba
• Para 3 letras “abc”, há 1 × 2 × 3 = 6 maneiras: abc acb cab bac bca cba
• Para 4 letras “abcd”, existem 1 × 2 × 3 × 4 = 24 maneiras: (tente você mesmo!)
• etc

A fórmula é simplesmente n!

Agora … de quantas maneiras não podemos arranjar cartas? Apenas uma maneira, um espaço vazio:

Então, 0! = 1

 

Onde o fatorial é usado?

Uma área em que são usados ​​é em Combinações e Permutações. Tínhamos um exemplo acima, e aqui está um exemplo ligeiramente diferente:

 

Exemplo: De quantas maneiras diferentes pode 7 pessoas vêm 1^st, 2^nd e 3^rd?

A lista é bastante longa, se as 7 pessoas forem chamadas de a, b, c, d, e, f e g, a lista inclui:

abc, abd, abe, abf, abg, acb, acd, ace, acf, … etc.

A fórmula é 7! (7-3)! = 7!4!

Vamos escrever os multiplicadores completos:

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 14 × 3 × 2 × 1 = 7 × 6 × 5

Isso foi legal. O 4 × 3 × 2 × 1 “cancelou”, deixando apenas 7 × 6 × 5. E:

7 × 6 × 5 = 210

Portanto, há 210 maneiras diferentes que 7 pessoas poderiam vir 1^st , 2^nd e 3^rd .

Feito!

 

Exemplo: quanto é 100! / 98!

Usando nosso conhecimento do exemplo anterior, podemos pular direto para isto:

100! / 98! = 100 × 99 = 9900

 

Veja essa lista:

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
20	2.432.902.008.176.640.000
21	51.090.942.171.709.440.000
22	1.124.000.727.777.607.680.000
23	25.852.016.738.884.976.640.000
24	620.448.401.733.239.439.360.000
25	15.511.210.043.330.985.984.000.000

 

Fatos interessantes

Seis semanas são exatamente 10! segundos (= 3,628,800)

Aqui está o porquê:

Segundos em 6 semanas:		60 × 60 × 24 × 7 × 6
Fatore alguns números:		(2 × 3 × 10) × (3 × 4 × 5) × (8 × 3) × 7 × 6
Reorganizar:		2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 3 × 3 × 10
Por último, 3 × 3 = 9:		2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

 

São 52! maneiras de embaralhar um baralho de cartas.

Isso é 8.0658175 … × 10 ⁶⁷

Basta embaralhar um baralho de cartas e é provável que você seja a primeira pessoa com essa ordem específica.

 

São cerca de 60! átomos no Universo observável.

60! é cerca de 8.320987 … × 10 ⁸¹ e as estimativas atuais estão entre 10 ⁷⁸ a 10 ⁸² átomos no Universo observável.

 

70! é aproximadamente 1,197857 … x 10 ¹⁰⁰ , que é um pouco maior que um Googol (o dígito 1 seguido por cem zeros).

100! é aproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10 ¹⁵⁷

200! é aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10 ³⁷⁴

 

E os negativos?

Podemos ter fatoriais para números como -1, -2, etc?

Não. Fatoriais inteiros negativos são indefinidos.

 

Vamos começar com 3! = 3 × 2 × 1 = 6 e desça:

	2!	=	3! / 3	=	6/3	=	2
	1!	=	2! / 2	=	2/2	=	1
	0!	=	1! / 1	=	1/1	=	1	(é por isso que 0! = 1)
	(-1)!	=	0! / 0	=	1/0	=		opa, dividir por zero é indefinido

E daqui em diante todos os fatoriais inteiros são indefinidos.

 

E quanto aos decimais?

Podemos ter fatoriais para números como 0,5 ou -3,217?

Sim, nós podemos! Mas precisamos entrar em um assunto chamado “Função Gamma”, que está além desta página.

E também podem ser negativos (exceto para inteiros).

 

Meio Fatorial

Mas posso dizer que o fatorial de metade (½) é a metade da raiz quadrada de pi .

Aqui estão alguns fatoriais de “meio-inteiro”:

(−½)!	=	√π
(½)!	=	(½) √π
(3/2)!	=	(3/4) √π
(5/2)!	=	(15/8) √π

Ainda segue a regra de que “o fatorial de qualquer número é aquele número vezes o fatorial de (1 menor que esse número) “, porque

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!