Precisando calcular fatorial de um número? Utilize nossa calculadora online, basta informar o número desejado e clicar em CALCULAR.
CALCULADORA FATORIAL
Número:
A função fatorial (símbolo: !) Diz para multiplicar todos os números inteiros de nosso número escolhido até 1.
Exemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
Calculando a partir do valor anterior
Podemos calcular facilmente um fatorial a partir do anterior:
| n | n! | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 × 1 | = 2 × 1! | = 2 |
| 3 | 3 × 2 × 1 | = 3 × 2! | = 6 |
| 4 | 4 × 3 × 2 × 1 | = 4 × 3! | = 24 |
| 5 | 5 × 4 × 3 × 2 × 1 | = 5 × 4! | = 120 |
| 6 | etc |
- Para calcular 6!, multiplique 120 por 6 para obter 720
- Para calcular 7!, multiplique 720 por 7 para obter 5040
- E assim por diante…
Exemplo: 9! é igual a 362.880. Tente calcular 10!
10! = 10 × 9!
10! = 10 × 362.880 = 3.628.800
Portanto, a regra é:
n! = n × (n − 1)!
Que diz
“o fatorial de qualquer número é aquele número vezes o fatorial de (aquele número menos 1) “
Portanto, 10! = 10 × 9!, … e 125! = 125 × 124!, etc.
E quanto a “0!”
O fatorial zero é interessante … é geralmente aceito que 0! = 1.
Pode parecer engraçado que a multiplicação de nenhum número resulta em 1, mas vamos seguir o padrão de, digamos, 4 para trás! como isso:
E em muitas equações usando 0! = 1 apenas faz sentido.
Exemplo: de quantas maneiras podemos organizar letras (sem repetir)?
- Para 1 letra “a”, há apenas uma maneira: a
- Para 2 letras “ab”, existem 1 × 2 = 2 maneiras: ab, ba
- Para 3 letras “abc”, há 1 × 2 × 3 = 6 maneiras: abc acb cab bac bca cba
- Para 4 letras “abcd”, existem 1 × 2 × 3 × 4 = 24 maneiras: (tente você mesmo!)
- etc
A fórmula é simplesmente n!
Agora … de quantas maneiras não podemos arranjar cartas? Apenas uma maneira, um espaço vazio:
Então, 0! = 1
Onde o fatorial é usado?
Uma área em que são usados é em Combinações e Permutações. Tínhamos um exemplo acima, e aqui está um exemplo ligeiramente diferente:
Exemplo: De quantas maneiras diferentes pode 7 pessoas vêm 1st, 2nd e 3rd?
A lista é bastante longa, se as 7 pessoas forem chamadas de a, b, c, d, e, f e g, a lista inclui:
abc, abd, abe, abf, abg, acb, acd, ace, acf, … etc.
A fórmula é 7! (7-3)! = 7!4!
Vamos escrever os multiplicadores completos:
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 14 × 3 × 2 × 1 = 7 × 6 × 5
Isso foi legal. O 4 × 3 × 2 × 1 “cancelou”, deixando apenas 7 × 6 × 5. E:
7 × 6 × 5 = 210
Portanto, há 210 maneiras diferentes que 7 pessoas poderiam vir 1st , 2nd e 3rd .
Feito!
Exemplo: quanto é 100! / 98!
Usando nosso conhecimento do exemplo anterior, podemos pular direto para isto:
100! / 98! = 100 × 99 = 9900
Veja essa lista:
| n | n! |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5.040 |
| 8 | 40.320 |
| 9 | 362.880 |
| 10 | 3.628.800 |
| 11 | 39.916.800 |
| 12 | 479.001.600 |
| 13 | 6.227.020.800 |
| 14 | 87.178.291.200 |
| 15 | 1.307.674.368.000 |
| 16 | 20.922.789.888.000 |
| 17 | 355.687.428.096.000 |
| 18 | 6.402.373.705.728.000 |
| 19 | 121.645.100.408.832.000 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 |
| 21 | 51.090.942.171.709.440.000 |
| 22 | 1.124.000.727.777.607.680.000 |
| 23 | 25.852.016.738.884.976.640.000 |
| 24 | 620.448.401.733.239.439.360.000 |
| 25 | 15.511.210.043.330.985.984.000.000 |
Fatos interessantes
Seis semanas são exatamente 10! segundos (= 3,628,800)
Aqui está o porquê:
| Segundos em 6 semanas: | 60 × 60 × 24 × 7 × 6 | |
| Fatore alguns números: | (2 × 3 × 10) × (3 × 4 × 5) × (8 × 3) × 7 × 6 | |
| Reorganizar: | 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 3 × 3 × 10 | |
| Por último, 3 × 3 = 9: | 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 |
São 52! maneiras de embaralhar um baralho de cartas.
Isso é 8.0658175 … × 10 67
Basta embaralhar um baralho de cartas e é provável que você seja a primeira pessoa com essa ordem específica.
São cerca de 60! átomos no Universo observável.
60! é cerca de 8.320987 … × 10 81 e as estimativas atuais estão entre 10 78 a 10 82 átomos no Universo observável.
70! é aproximadamente 1,197857 … x 10 100 , que é um pouco maior que um Googol (o dígito 1 seguido por cem zeros).
100! é aproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10 157
200! é aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10 374
E os negativos?
Podemos ter fatoriais para números como -1, -2, etc?
Não. Fatoriais inteiros negativos são indefinidos.
Vamos começar com 3! = 3 × 2 × 1 = 6 e desça:
| 2! | = | 3! / 3 | = | 6/3 | = | 2 | ||
| 1! | = | 2! / 2 | = | 2/2 | = | 1 | ||
| 0! | = | 1! / 1 | = | 1/1 | = | 1 | (é por isso que 0! = 1) | |
| (-1)! | = | 0! / 0 | = | 1/0 | = | opa, dividir por zero é indefinido |
E daqui em diante todos os fatoriais inteiros são indefinidos.
E quanto aos decimais?
Podemos ter fatoriais para números como 0,5 ou -3,217?
Sim, nós podemos! Mas precisamos entrar em um assunto chamado “Função Gamma”, que está além desta página.
E também podem ser negativos (exceto para inteiros).
Meio Fatorial
Mas posso dizer que o fatorial de metade (½) é a metade da raiz quadrada de pi .
Aqui estão alguns fatoriais de “meio-inteiro”:
| (−½)! | = | √π |
| (½)! | = | (½) √π |
| (3/2)! | = | (3/4) √π |
| (5/2)! | = | (15/8) √π |
Ainda segue a regra de que “o fatorial de qualquer número é aquele número vezes o fatorial de (1 menor que esse número) “, porque
(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!
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Adriano Silva
Formado em Técnico em Eletrônica, programador amador, especialista em SEO e apaixonado pelo gerenciamento de conteúdo digital.