Decidimos trazer hoje um gerador de PA, você precisa informar o primeiro termo da PA, a Razão e a quantidade de termos que vai conter no conjunto. É muito importante que você preencha corretamente todos os campos para o perfeito funcionamento do gerador.
A progressão aritmética é constituída por um tipo de sequência numérica onde cada número, termo ou elemento, corresponde a soma equivalente a constante do termo anterior. Sendo assim, podemos definir que a progressão aritmética é uma sequência numérica onde é mantido um padrão de crescimento constante entre os números. Na matemática, esse tipo de cálculo se aplica a diversas áreas do conhecimento, principalmente em finanças.
Neste post, explicaremos o que é progressão aritmética, para que ela serve, quais são as principais aplicações e conceitos desse cálculo matemático. Além disso, ensinaremos como calcular progressão aritmética através de exemplos simples e práticos. Confira tudo isso a seguir e muito mais.
O que é progressão aritmética?
Como já mencionamos, a progressão aritmética é determinada por uma sequência numérica onde o crescimento dessa progressão se dá pela aplicação de uma constante. Ou seja, na progressão aritmética, cada elemento representa exatamente a soma do elemento antecessor juntamente com uma constante. Por isso, a maioria dos cálculos de progressão aritmética consistem em descobrir o valor da constante, ou do crescimento da sequência numérica.
A progressão aritmética também é chamada de PA dentro da matemática. Já a constante, que é o crescimento progressivo entre os números do conjunto numérico, é chamado de razão, e por isso, é representada pela letra r. Aliás, dependendo do valor determinado para a razão, a progressão aritmética pode variar entre constante, crescente ou decrescente. Isso significa que nem toda PA aponta um crescimento, mas sim uma constante manifestação progressiva entre os números, independente se ela é crescente ou decrescente.
Por exemplo, na sequência numérica (5, 7, 9, 11, 13), a constante aplicada é o número 2. Sendo assim, temos que a cada novo número é somado a razão de 2, compondo a progressão aritmética do tipo crescente. Se observarmos, 5 + 2 é = a 7, 7 + 2 é igual a 9, e assim por diante. Nesse caso, é possível ainda definir o valor de qualquer número ordinal na sequência de progressão aritmética, mesmo que ele não apareça na PA. Por exemplo, o 6º número dessa PA é 17.
Sendo assim, podemos definir várias aplicações para o cálculo de PA, onde é possível determinar se a sequência é aritmética, se é crescente ou decrescente, qual é o número ordinal que não aparece na PA, entre outras informações desse tipo. Para cada uma dessas resposta, há um cálculo diferente e específico.
Conceito de crescente e decrescente
Para determinar se uma PA é crescente ou decrescente, ela deve apresentar características que aponte a direção que a progressão aritmética segue. Por exemplo, a sequência numérica (-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11) é crescente ou decrescente? Embora a progressão aritmética mostre números negativos, essa PA corresponde a uma progressão do tipo crescente. Mas e essa sequência numérica (-9, -7, -5, -3, -1), é crescente ou decrescente? Não é porque há apenas números negativos que essa PA é decrescente. Esse segundo exemplo também trata-se de uma progressão aritmética crescente, sabe porque? Confira a seguir o conceito de crescente e decrescente em uma PA:
- Crescente: toda PA crescente caracteriza-se por r > 0, ou seja, a constante entre os números é maior que o número 0.
- Constante: toda PA que é apenas constante, é formada por r = 0. Nesse caso, a constante é igual a 0, por isso, a PA não é crescente nem decrescente.
- Decrescente: toda PA decrescente caracteriza-se por r < 0, ou seja, a constante entre os números é menos que o número 0.
Considerando esses conceitos, podemos observar que os dois exemplos que mencionamos logo acima são de PA’s crescentes, pois, cada uma das progressões aritméticas apresentam uma constante entre os números de 2, e por isso, a razão é maior que 0.
Termo Geral da progressão aritmética
Como já mencionamos anteriormente, quando temos uma sequência numérica com progressão aritmética é possível descobrir um determinado número que irá aparecer em sequência, mesmo que esse número não esteja visível na sequência. Essa resolução é chamada de termo geral de uma PA, onde o termo geral é exatamente o número ordinal da sequência que queremos descobrir.
Por exemplo, vamos determinar uma progressão aritmética finita com os seguintes números: (5, 7, …, 13). Quais são os dois números que aparecem entre 7 e 13 nessa sequência finita? Nesse caso, temos que descobrir o 3º termo e o 4º termo da PA. Para isso, é aplicado uma fórmula específica, sendo ela: a(n) = a(1) + (n-1) * r.
A resolução dessa fórmula se aplica as seguintes informações:
- a(n) = termo geral;
- a(1) = primeiro termo da PA;
- n = ordem do termo geral;
- r = razão ou constante.
Agora que já sabemos a fórmula, vamos ao cálculo para descobrir o 3º e o 4º termo dessa progressão aritmética:
a(3º) = 5 + (3 – 1) * 2
a(3º) = 5 + 2 * 2
a(3º) = 5 + 4
a(3º) = 9
Considerando o nosso exemplo, temos que o 3º termo da PA de constante 2 é o número 9. Para progressões aritméticas pequenas, como a do nosso exemplo, é possível descobrir o termo geral apenas aplicando a constante em cada número, por exemplo: 7 + 2 = 9, 9 + 2 = 11. No entanto, para progressões com muitos números esse tipo de cálculo se torna inviável, por isso, é mais fácil utilizar a fórmula descrita.
Razão da progressão aritmética
Mas e quando não sabemos a razão de uma progressão aritmética? Embora esse tipo de cálculo possa ser feito de forma bem simples, há uma fórmula específica para determinar a razão de uma PA, sendo ela: a(n) = a(1) + (n – 1) * r. Veja a seguir como aplicar esse cálculo:
PA = (5, 7, 9, 11, 13)
13 = 5 + (5 – 1) * r
13 = 5 + 4 * r
13 – 5 = 4r
8/4 = r
r = 2
Neste cálculo, temos que o a(n) é o último número da PA, a(1) é o primeiro termo, e n é o total de números da progressão aritmética. A razão de uma PA também pode ser obtida pela subtração de um número pelo outro, por exemplo: 13 – 11 = 2. Porém, quando temos uma PA com dessa forma: (5, … 13), não há como saber a razão. Se soubermos quanto números há nessa PA, é possível calcular a razão de acordo com a fórmula acima.